문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 수 체계 (문단 편집) == 상세 == 기본적으로 수 체계에 요구되는 성질들이 있는데, 덧셈과 곱셈이라는 연산이 [[잘 정의됨|잘 정의되어야(well-defined)]] 하며[* 모든 원소에 대해 연산이 성립할 때 '잘 정의되었다' 고 한다.], 그 원소의 수가 무한해야 한다.[* 아닌 경우도 있다. 페이지 맨 아랫부분 참고. 물론 논쟁의 소지가 있다.] 그리고 [[교환법칙]]과 [[결합법칙]]이 성립하며, 덧셈과 곱셈 사이에는 [[분배법칙]]이 성립해야 한다. 집합론이 수학의 베이스가 되면서, 오늘날에는 딱히 수 체계를 특별취급하지는 않는다. 모든 수 체계는 결국 [[집합]]일 뿐이며, 그 수 체계를 이루는 수 역시 집합일 뿐이다. 다만, 자연수, 정수, 실수체계 등은 역사적으로 중요하게 취급되었고, 연구도 많이 된 상태이기 때문에 집합론 안에서 집합을 이용하여 그 구조를 그대로 재현하여 자연수, 정수, 실수라 정의하여 사용하며, 그동안의 연구결과들도 집합론의 언어에 맞춰 재현시켜 쓰고 있다 보면 된다. 대수학에서 배우는 반군, 군, 환, 체 등은 이러한 수 체계의 성질만을 추상화시켜 뽑아다가 정의한 구조체라 볼 수 있다. 역시 뭐 특별한 게 아니고 대부분 다 집합으로 정의된다.[* 군, 환, 체 등을 고교 때 배우는 나라들도 몇몇 있다. 하지만, 공학을 중시하는 한국에서는 아무래도 이런 종류의 지식보다는 공학과 더 가까운 미적분 관련 테마를 더 중시하는 듯하다.] 현대 수학에선 [[자연수]]가 모든 수의 시작이다.[* 애초부터 수학의 최하단 베이스인 집합을 정의할 때조차도 기본적으로 [[자연수]] 집합, 혹은 페아노의 공리들을 만족시키는 집합의 존재가 보장되도록 정의해야 한다.] 즉, 자연수로부터 차곡차곡 쌓아올라가 정수, 유리수, 실수, 그리고 복소수 순으로 만들어 수 체계가 생성되는 것이다. 이러한 체계는 근대와 현대에 걸친 대수학과 해석학의 눈부신 발전이 이뤄낸 성과 중 하나라고 볼 수 있다. 중요한 점은, 아래 구성방법은 대학 수학과 학부과정에서 표준적으로 쓰이는 하나의 '예시'라는 점이다. 집합론에서 수 체계들은 동형사상(isomorphism)[* 보통 대수를 상상하겠지만, 집합론에서 보다 일반적인 동형사상이 존재한다. 물론, 그다지 차이는 없고 모든 연산자뿐 아니라, 관계에 대해서도 조건을 충족시켜주면 된다.]을 제외하고 유일하다. 이 말인즉슨, 아래 구성된 수체계들과 동형사상 관계인 모든 구조들 역시 수체계라는 것이다. 즉, [math(\left\{0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\right\})]뿐만 아니라 그것과 같은 구조를 갖는 [math(\left\{aaa,\,aaaa,\,aaaaa,\,\cdots\right\})] 도 마찬가지로 자연수라 할 수 있다.[* 두 대상이 동형이면(둘 간에 동형사상이 존재할 때) 보통 수학자들은 그냥 동일한 것으로 본다. 동형사상을 '이름 바꾸기'라고 부르기도 한다는 점을 보면 된다.] 뿐만 아니라, 굳이 집합론 안에서만 정의가 가능한 것도 아니다. 범주론을 통해서도 자연수를 구성할 수 있고, 유형 이론으로도 구성이 가능하다. 또한, 페아노 산술(Peano arithmetic)[* 페아노 공리계의 '약한' 조건.]으로 자연수를 구성할 경우, 자연수 구조는 더이상 유일하지 않고, 여러가지 논스탠다드 모델이 등장한다. 게중에는 실수처럼 셀 수 없는 자연수 모델도 있다. 수 체계 [[집합]]의 기호는 보통 [[칠판체]]를 사용한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기